2006年，Cohn和Kumar通过比较能量函数与具有良好性质的较小“辅助”函数，开发了一种求基态能量下限的方法。
他们发现每个维度都存在无限多的辅助函数，但无法确定哪个是最好的。
在8和24维中证明普遍最优性的五位论文作者：从左上顺时针分别为Henry Cohn， Abhinav Kumar， Maryna Viazovska， Stephen Miller和Danylo Radchenko。
Cohn和Kumar发现在大多数维度中，他们找到的数值边界与最广为人知的构型的能量大相径庭。但是在8和24维中，Cohn和Kumar尝试模拟了所有的斥力，其数值边界与E8和Leech晶格的能量都惊人地相似。自然，接下来的疑问就是，对于任何给定的斥力，是否存在一个完美的辅助函数，其给出的边界与E8或Leech晶格能量完全匹配。
对于球体堆积问题，这正是Viazovska三年前的工作：她在模函数中找到了完美的“魔法”辅助函数，模函数的特殊对称性使它们数世纪以来一直是数学家的研究对象。
当涉及到其他排斥点问题，例如电子问题时，每个魔法函数需要满足的特性是已知的：其必须在特定点上具有特殊值，而其傅立叶变换（用于量化函数的固有频率）则需要在其他点上具有特殊值。研究人员只是不知道这样的函数是否存在。
通常，构造一个在某些点上有期望效果的函数很简单，但是同时控制函数及其傅立叶变换是非常困难的。Cohn说：“当你强行调整它们中的一个时，另一个总会与你的期望背道而驰。”
事实上，这一特性属于物理中著名的不确定原理。海森堡不确定原理就是这样一个特例，因为一个粒子的动量波是其位置波的傅立叶变换。
对于8或24维中的斥力，Viazovska大胆地推测：研究团队想要在他们的魔法函数上施加的边界限制，及其傅立叶变换都恰好落在可能和不可能之间的界线上。她怀疑，再多一点限制，就不可能存在这样的函数；再少一点限制，则可能存在太多函数。而在团队所研究的条件下，恰好只有一个函数完全合适。
与E8和Leech晶格不同，二维三角形晶格在自然界中无处不在，从蜂窝结构到超导体中的漩涡状排列均在此列。
在大量的实验和模拟基础上，物理学家们提出假设，这一晶格在广泛的范围中都是最佳的。
除8和24维之外，二维是唯一一个Cohn和Kumar的数值下界可以良好运作的维度。这强烈暗示了二维中应该也存在魔法函数。
但是，没有人能给出三角形晶格普遍最优的概念解释，而这有望由数学证明解答。
喜欢数学心请大家收藏：(m.001zj.com)数学心字节读书更新速度全网最快。