第554章 扎里斯基拓扑
扎里斯基拓扑(Zariski topology)是代数簇与概形的研究中使用的一种拓扑。扎里斯基拓扑往往用指定空间中的闭子集的方式来定义。仿射空间A中的扎里斯基闭集就是某一族多项式的公共零点集。从A的扎里斯基拓扑就可诱导得代数簇的扎里斯基拓扑。
扎里斯基对代数几何做出做出了重大贡献。代数几何是现代数学的一个重要支学科，与数学的许多分支学科有着广泛的联系，它研究关于高维空间中由若干个代数方程的公共零点所确定的点集，以及这些点集通过一定的构造方式导出的对象即代数簇。
从观点上说，它是多变量代数函数域的几何理论，也与从一般复流形来紧密地结合起来。从方法上说，则和交换环论及同调代数有着密切的联系。
扎里斯基早年在基辅大学学习时，对代数和数论很感兴趣，在意大利深造期间，他深受三位意大利卡斯泰尔诺沃、恩里克斯、塞维里在古典代数几何领域的深刻影响。
意大利几何学者们的研究方法本质上很富有“综合性”，他们几乎只是根据几何直观和论据，因而他们的证明中往往缺少数学上的严密性。
扎里斯基的研究明显带有代数的倾向，他的博士论文就与纯代数数学有着密切联系，精确地说是与伽罗瓦理论密切联系。
他的博士论文主要是把所有形如f(x)-tg(x)=0的方程分类，这里面f 和蔼 g是多项式，x 可以解为线性参数t的根式表达式。
扎里斯基说明这种方程可分为五类，它们是三角或椭圆方程。
取得博士学位後，他在罗马的研究工作仍然主要是与伽罗瓦理论有密切联系的代数几何问题。到美国後，他受莱夫谢茨的影响，致力于研究代数几何的拓扑问题。
在一九二七至一九三七年间，扎里斯基给出了关于曲线C 的经典的黎曼-罗赫定理的拓扑证明，在这个证明中他引进了曲线 C 的 n重对称积 C(n)来研究 C 上度数为 n 的除子的线性系统。
一九三七年扎里斯基的研究发生了重要的变化，其特点是变得更代数化了。他所使用的研究方法和他所研究的问题都更具有代数的味道〔这些问题当然仍带有代数几何的根源和背景〕。扎里斯基对意大利几何学者的证明感到不满意，他确信几何学的全部结构可以用纯代数的方法加以重新建立。在一九三五年左右，现代化数学已经兴盛起来，最典型的例子是诺德与范德瓦尔登有关论著的发表。
实际上代数几何的问题也就是交换环的理想的问题。
范德瓦尔登从这个观点出发把代数几何抽象化，但是只取得了一部分成就，而扎里斯基却获得了巨大成功。
在三十年代，扎里斯基把克鲁尔的广义赋值论应用到代数几何，特别是双有理变换上，他是从这方面来奠定代数几何的基础，并且作出了实质性的贡献。
扎里斯基和其他的数学家在这方面的工作，大大扩展了代数几何的领域：首先，由复数域到一般域；其次，由代数曲线、曲面推广到一般代数簇，定义是完全内蕴的，也就是抛掉装着代数簇的外围空间。
他还证明了下述扎里斯基主要定理：“如果双有理对应在正规定 p 外不是正则的，那么 p 的像的各个分支的维数大于等于一。”由此阐明了双有理对应的性质。
对于奇点解消问题，即射影空间中任意不可约代数簇都能够双有理地变换为射影空间内的不带奇点的代数簇，在特征为零及维数小于等于三时，他给出了证明。一九四四年，他又证明了特征为〇的域上三维代数簇的奇点可以解消。
域 k 上的不可约代数簇 V，如果它的函数域上 k 上是纯绍越的，就称为一个有理簇。扎里斯基给出了判别代数闭域上的完备光滑曲面 S 是有理的一个充分必要准则。
这个重要准则，现在称为卡斯泰尔诺沃-扎里斯基判别准则。
关于代数曲面，扎里斯基还严格地证明了卡斯泰尔诺沃的定理：设 L 为代数闭域 k 上两变量有理函数域 k(x，y)的子域且包含 k，如果 k(x， y)在 L 上为可分代数的，那么 L 是 k 上的二元有理函数域。
在代数曲面的理论中，寻求与给定的代数曲面双有理等价的非奇异代数曲面的问题，是这个领域中最基本的问题之一，扎里斯基在特征为〇的域上给出了基于赋值论的纯代数的证明。
关于代数曲面的分类，扎里斯基和其他数学家给出了完整的结果。他还引进正规簇和正规化的概念，并应用于线性系、双有理变换及代数对应等理论中。
关于诺德环，他得出：若半局部整环 R 是一个域上的有限生成环的商环，则 R 是解析非分歧的，若 R 还是正规局部环，则 R 是解析正规的。他还指出，即使以更一般的理想的幂引入拓扑，一切理想仍是闭集。
在关于局部一致性的研究中，扎里斯基导入了代数簇 V 上的拓扑，现在称为扎里斯基拓扑。在这个拓扑中 V 的闭子集就是 V 的代数子簇。
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